Revista Nexos Científicos ISSN: 2773-7489
Julio –Diciembre 2019 pp. 1-12 Correo: editor@istvidanueva.edu.ec
Volumen 3, Número 2 URL: http://nexoscientificos.vidanueva.edu.ec/index.php/ojs/index
Fecha de recepción: agosto 2019 Fecha de aceptación: septiembre 2019
1
1.
1
INTRODUCCIÓN
La Matemática es un edificio que, en sus
inicios, fue construido por el techo y no por su base
o cimientos. Esta forma de construcción aseguraba
que la estructura colapsara en cualquier momento.
A medida que la Matemática fue desarrollándose,
surgió la necesidad de dotar a este gran edificio del
cemento y concreto necesarios que garantizaran la
permanencia de la estructura en pie, Alba (1938).
Es así como Bertrand Russell (1872-1970)
incorpora a la Matemática la lógica aristotélica con
el método deductivo de demostración y las reglas
de deducción o inferencia. Es decir, la Matemática,
una ciencia eminentemente deductiva y formal, que
está a nivel de la Lógica y la Filosofía, tiene en la
demostración lo que hacía falta para ser el edificio
de conocimientos exactos más esplendoroso que la
mente humana seguirá construyendo.
1. Profesor de la 1 Pontificia Universidad Católica de Chile,
Santiago de Chile, murogrande@yahoo.com
2. Profesor de la 2 Universidad Tecnológica Israel –
Departamento de Ciencias Exactas, Quito – Ecuador,
mmendizabal@uisrael.edu.com
La enseñanza y aprendizaje de la Matemática
conllevan la realización de demostraciones,
Oliveros (2002).
Cuando se imparte una clase de Matemática y
se demuestran teoremas, se usan definiciones,
axiomas o postulados y otros teoremas
previamente demostrados y aceptados como
proposiciones verdaderas, Díaz (2014).
El razonamiento o silogismo, así elaborado,
constituye la demostración analítica formal
algébrica del teorema. Inferencias como la
inducción completa pueden considerarse como otro
tipo de demostración.
En una clase de Matemática, no solo se
resuelven problemas y se desarrollan ejercicios,
sino que se busca demostrar teoremas aplicando la
deducción o el método deductivo de demostración.
Antes de demostrar un teorema, se piensa en la
secuencia o cadena de pasos lógicos a seguir en el
razonamiento. Si este proceso, se acompaña con las
respectivas justificaciones y se añade un gráfico; se
ilustra, muestra y visualiza aquello que se desea
demostrar.
La Geometría en el Álgebra de los Números Reales
Mauro Javier Mendizábal Pico
1
; Mauro Javier Mendizábal Freire
2
1
Pontificia Universidad Católica de Chile, Santiago de Chile, murogrande@yahoo.com
2
Universidad Tecnológica Israel – Departamento de Ciencias Exactas, Quito – Ecuador, mmendizabal@uisrael.edu.com
Resumen: Este documento expresa como la representación escrita en forma analítica de un
teorema del conjunto de los números reales, acompañada de un gráfico geométrico, confirma la
veracidad y validez de la demostración además de mostrarla de una manera visual.
Palabras Clave: representaciones, gráficas, geométricas, visuales, números reales.
Geometry in the Algebra of Real Numbers
Abstract: This document expresses how the writting representation in analytical form of a
theorem in the set of real numbers, accompanied by a geometric graph, confirms the truthfulness
and validity of the proof showing it in a visual way too.
Keywords: representations; graphical; geometric; visual; real numbers.
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Desarrollar ejercicios o resolver problemas en
Matemática sirve, no solo, para afirmar la
comprensión y aplicabilidad del teorema que se ha
demostrado, sino también para que los estudiantes
ejerciten acciones que exige la solución del
ejercicio o problema.
Cuando un docente trata un nuevo teorema se
enfrenta a dos situaciones. La primera, enunciar el
teorema sin demostrarlo porque resulta tedioso y
demasiado aburrido para los estudiantes. Y la
segunda, enunciar el teorema y demostrarlo.
Si el docente elige la primera situación, está
perdiendo la oportunidad que los estudiantes
desarrollen la abstracción y la capacidad de
deducir. Si escoge la segunda, sabe con
anticipación, que muchos estudiantes protestarán o
simplemente dejarán de poner atención a la
demostración porque rechazan los procesos donde
el pensar se hace necesario, Oliveros (2002).
En la antigua Grecia, eran instrumentos
indispensables para hacer Geometría, y por ende
Matemáticas; la escuadra, la regla y el compás.
Todo lo que se hacía con números tenía que ser
medido, construido y mostrado para que tuviera
validez. Se llegó al caso, incluso, de que la escuela
pitagórica cerró cuando no se pudo mostrar el
triángulo rectángulo, cuyas medidas de
construcción, dieran el número exacto de
gnómodas para la hipotenusa si los catetos medían
valores iguales. Por tanto, mostrar o visualizar ya
desde esa época pasó a ser tan importante como
ahora para aprender y entender Matemáticas.
Si relacionamos la forma como en la Grecia
Clásica se mostraba la validez de las proposiciones
referidas a los números con las situaciones que
enfrenta un docente a la hora de demostrar un
teorema; la propuesta que en este documento se
hace es vincular a las demostraciones analíticas
algébricas de los números reales con las
propiedades de las figuras geométricas. De esta
manera se pretende que, al estar las demostraciones
asociadas a representaciones gráficas geométricas
visuales, el interés de los estudiantes por
desarrollar las mismas e incrementar el
pensamiento lógico formal, no sea algo aburrido y
sin importancia.
Esta estrategia, como sugerencia para las clases
de Matemáticas, está dirigida para que el estudiante
no solo comprenda y disfrute de la demostración
del teorema, sino que acepte la verdad y validez del
mismo frente a su escepticismo o duda. También se
pretende que, una asignatura como la Geometría,
sea protagonista en la enseñanza de la Matemática,
así como es el Álgebra de los Reales y evidenciar
esa unidad intrínseca que existe entre las diferentes
partes de la Matemática.
Si el Álgebra estudia el número en la forma
más general posible; el Álgebra es la
generalización de la Aritmética, concebida esta
última como una de las asignaturas iniciales de la
Matemática que se ocupa del estudio de las
propiedades y operaciones con los números. La
Aritmética junto con la Geometría fueron las dos
ramas originales de la Matemática porque son las
que tuvieron que enfrentase a los problemas
iniciales que tuvo la misma como fueron los de
contar y medir.
El protagonismo que la Geometría debe siempre
tener no ha ido a la par con el Álgebra. En el
Ecuador, a nivel medio, casi siempre ha estado
relegada, no solo por su escaza enseñanza sino por
la mal planteada forma de impartirla. Es decir,
limitarse al memorismo de propiedades y fórmulas.
La Geometría es una asignatura muy carismática,
capaz de despertar un alto interés en los estudiantes
porque permite abordar problemas con un carácter
lúdico e informal. La Geometría, además de
permitir manipular los objetos geométricos que en
todas las situaciones de la vida real aparecen, se
interrelaciona con otros conceptos matemáticos,
siendo los algebraicos un ejemplo de los mismos.
1.1. Antecedentes
1.1.1. Al-Khuwarizmi. Este matemático árabe,
del siglo IX, en su libro “Sobre el Cálculo
Mediante la Reducción y la Restauración”, resolvió
geométricamente ecuaciones de segundo grado.
La solución que Al-Khuwarizmi propuso fue
para encontrar solamente la raíz positiva de
ecuaciones de la forma
con y
, porque todavía en aquella época no se
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consideraban que los coeficientes de la variable de
la ecuación podían ser negativos.
Para entender el proceso se va a resolver un
ejemplo concreto como el siguiente:
(1)
Se puede considerar que
es el área de un
cuadrado C1 de lado , y el área de un
rectángulo de lados ; o bien, cuatro veces el
área de un rectángulo C2 de lados y 2/4. El
primer miembro de la ecuación es por tanto la
suma de las áreas de cinco figuras que se muestran
a continuación.
Figura 1: Cuadrado C1 y rectángulos C2 que
representan la suma
.
La figura anterior se puede completar con
cuatro cuadrados C3 en las esquinas, de tal forma
que se obtiene un cuadrado de lado l, tal como se
indica en la figura 2. Realizando la suma de las
áreas de todas las figuras que componen el
cuadrado de lado l resulta lo siguiente:
De donde se puede desprender que:
3
(
De esta manera se ha calculado la raíz positiva
de la ecuación planteada.
Existen métodos similares para calcular
geométricamente las raíces de los demás tipos de
ecuaciones de segundo grado introduciendo ligeras
variaciones al proceso anterior.
Figura 2: Cuadrados C1 y C3 con rectángulos C2 que
representan la suma
.
1.1.2. Baldor A.- Aurelio Baldor, (1976),
conocido autor cubano a través de su libro Álgebra
de Baldor, en el capítulo de Productos y Cocientes
Notables, hace uso de la representación gráfica
geométrica para el cuadrado de la suma de dos
números reales no negativos y para el producto de
la suma por la resta de dos números reales también
no negativos.
El cuadrado de la suma de dos números reales
no negativos, en fórmula se expresa así:
(2)
La representación geométrica para este caso
comienza con la construcción de un cuadrado de
lado de valor a, de tal forma que el área para este
cuadrado sea
. Para el área
, se construye un
cuadrado de lado b y para el área 2ab, se trazan dos
rectángulos de lados a y b.
C1
C2
C2
C2
C2
2 / 4
x
2 / 4
x
2 / 4
2 / 4
C
3
C
3
C
3
C
3
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Figura 3: Cuadrados y rectángulos que representan las áreas
.
Las figuras así construidas son dispuestas de tal
forma que se pueda armar un cuadrado de lado a +
b, cuya área
se puede calcular sumando
las áreas de los dos cuadrados y de los dos
rectángulos.
Figura 4: Cuadrados y rectángulos que representan la suma
La fórmula para el producto de la suma y resta
de dos números reales no negativos es:
(3)
La representación geométrica comienza, como
en el caso anterior, con la construcción de un
cuadrado de lado de valor a para que su área sea
. Para el área
, también se construye un
cuadrado de lado b. El valor de a se toma mayor al
valor de b.
Figura 5: Cuadrados y rectángulos para representar
.
Al área del cuadrado de lado a se le quita el
área del cuadrado de lado b. Trazando una línea de
puntos se obtiene un rectángulo R de lados b y a -
b. Este rectángulo R se traslada de tal forma de
llegar a obtener otro rectángulo de lados a + b y a
- b. Al calcular el área de este último rectángulo se
obtiene (a + b) (a – b).
1.1.3. González P. - Pedro Gonzáles Urbaneja
(s/f) es profesor de Matemáticas de la Politécnica
de Cataluña y de la Universidad de Barcelona. Este
matemático usa representaciones gráficas
geométricas para visualizar series. Las
representaciones geométricas llevan por título
“Prueba sin Palabras”. El autor solo presenta la
gráfica, sin ningún comentario, dejando a la
imaginación del lector la interpretación. Desde
luego, esta interpretación conduce aceptar la
validez de la fórmula expuesta porque la
proposición deducida, tras analizar la gráfica,
confirma la veracidad de la misma. A
continuación, se exponen dos imágenes.
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Primera imagen
Figura 6: Suma de áreas de triángulos rectángulos isósceles
en progresión geométrica.
Fuente: González, P. (s/f).
En esta imagen se puede visualizar que a partir
de un cuadrado de lado 1, al que se le ha trazado
una de sus diagonales, se van obteniendo
triángulos rectángulos isósceles al trazar la altura
relativa a la hipotenusa. Cada nuevo triángulo que
se forma tiene un área igual a la mitad de su
respectivo anterior. Si el proceso continúa y se
analizan los resultados de estas áreas, se desprende
que dichos valores son los términos de una
progresión geométrica decreciente infinita de razón
. A saber:
---
1/2
1/4
1/8
1/16
1/32
---
---
1/2
1
1/2
2
1/2
3
1/2
4
1/2
5
---
1/2
n
La suma de las potencias naturales de
, usando
el símbolo de sumatoria, se expresa así:
Si al número de términos n de esta suma se
hace crecer sin límite; es decir, hasta el infinito,
resulta una serie geométrica convergente que
tiende al valor 1 como límite; es decir, al valor del
área del cuadrado. La evidencia de lo que se acaba
de enunciar es validada en forma visual por el
gráfico de la Figura 6.
La suma
de los n primeros términos de una
progresión geométrica se puede calcular usando la
fórmula:
(4)
Si en esta fórmula se reemplazan los valores
correspondientes a
y , resulta lo
siguiente:
Calculado el límite se tiene:
Por tanto,
. De esta manera
se comprueba analíticamente que el valor deducido
a partir de la gráfica es correcto.
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Segunda imagen
Figura 7: Suma de áreas de rectángulos en progresión
geométrica.
Fuente: González, P. (s/f).
En esta segunda imagen también se tiene un
cuadrado de lado 1, al que se le ha trazado una de
sus diagonales. A este cuadrado, mediante dos
segmentos de recta horizontales, se le ha dividido
en tres partes iguales, o lo que es lo mismo, en tres
rectángulos congruentes con un área igual a la
tercera parte del área del cuadrado; que para
facilitar su interpretación se han pintado en verde y
en rosado.
Al rectángulo ubicado en la mitad del
cuadrado, también se le ha dividido en tres partes
iguales al trazar dos segmentos de recta verticales
que pasan por los puntos de intersección entre los
segmentos horizontales y la diagonal del cuadrado.
Esto es así porque el cuadrado no solo está
dividido en tres partes iguales por los dos
segmentos de recta horizontales sino también por
dos segmentos de recta verticales. Las figuras que
resultan al interior del rectángulo dividido son tres
cuadrados congruentes cuya área es un tercio de la
tercera parte del área del cuadrado original; es
decir, 1/9.
Si el proceso se vuelve aplicar a todos los
cuadrado ubicados en la parte central de la figura,
usando la misma diagonal y segmentos de recta
horizontales y verticales, en forma alternada, los
valores de las áreas que se van a obtener
corresponden, como en la primera imagen, a una
progresión geométrica decreciente infinita, pero
esta vez de razón r =
. La serie geométrica que de
ella se desprende, tal como se puede visualizar,
converge al valor
.
1.1.4. Hervas D.- David Herbas (2010), doctor en
Matemáticas y profesor de la Universidad San
Francisco de Quito, mientras se desarrollaba la
Olimpiada de Matemática para nivel medio, en la
Escuela Politécnica Nacional, en el año 2010,
realizó una charla en el Hemiciclo de dicha
institución. En esta charla expuso la forma como se
podía realizar la descomposición en factores de un
polinomio real de segundo grado en x, si se usaban
figuras geométricas planas como cuadrados y
rectángulos acompañados de las fórmulas para
calcular sus áreas. La forma que este matemático
usó tiene mucha relación con la que Al-
Khuwarizmi usó para calcular la raíz positiva de
una ecuación de segundo grado con coeficiente
reales positivos. A continuación se presentan las
imágenes de aquella exposición, en la cual se tomó
como ejemplo, para explicar el proceso, el
polinomio dado por la fórmula de definición
.
Figura 8: Descomposición en factores de un polinomio de
segundo grado en x.
Fuente: Hervas, D. (2010).
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En estas imágenes se pueden observar tres
cuadrados, dos de lado de valor x, para obtener un
área igual a
y uno de lado de valor 1, que
como es obvio tiene un área igual a 1. Hay tres
rectángulos de lados x y 1 con los cuales resulta el
área 3x. Con las figuras así construidas, se arma un
rectángulo, en el cual la suma de las áreas de las
figuras que lo forman es igual al área calculada al
multiplicar el largo por el ancho . De
esta forma el polinomio cuadrático ha sido
descompuesto en el producto de dos factores de
primer grado.
1.1.5. Bruño. El Álgebra Superior de Bruño, en el
capítulo de Progresiones, tiene un problema cuya
solución se debe a Pitágoras. El problema pide que
se calcule la suma de los n primeros números
naturales impares. Pitágoras representó el
problema usando un cuadrado de lado igual al
número de términos de la serie aritmética que la
suma de estos números representa. Del gráfico se
puede deducir que el valor es
es decir, el área
del cuadrado. A continuación, se expone la gráfica.
Figura 9: Suma de números naturales impares.
2. DESARROLLO
En el Álgebra del Conjunto de los Números
Reales R, un teorema bastante conocido es el
siguiente:
“La media aritmética de dos números reales no
negativos a y b es mayor o igual que su media
geométrica”.
En fórmula, el teorema se expresaría así:
(5)
2.1. Representación Escrita en Forma Analítica
de la Demostración del Teorema.
Antes de hacer una representación escrita
analítica del teorema, partiendo de las premisas
para llegar a la tesis o conclusión, se va a invertir
el razonamiento; es decir, partiendo de la tesis
resulta lo siguiente:
Si
, se tiene
,
,
. Esta última expresión es
verdadera para cualquier valor real de a y b.
A partir de la premisa
, que
sabemos es verdadera, la representación escrita, en
forma analítica, de la demostración del teorema
sería:
Proposiciones:
Justificaciones:
1. a y b son
números reales no
negativos.
1. Hipótesis
2.
2. Teorema:
Todo número real
elevado al
cuadrado es mayor
o igual que cero.
3.
3. Cuadrado de un
binomio.
4.
4. Teorema:
El sentido de una
desigualdad no
cambia si se suma
un mismo número
real a sus dos
miembros.
5.
5. Identidad:
Trinomio cuadrado
perfecto.
6.
6. Extracción de
raíces cuadradas a
números reales no
negativos.
7.
7. Teorema:
El sentido de una
desigualdad no
cambia si a ambos
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miembros se les
divide por un
mismo número real
positivo.
Para este teorema se desarrollan tres
representaciones gráficas, geométricas visuales.
2.2. Representación Geométrica 1.
Figura 10: Primera representación geométrica de las medias
aritmética y geométrica.
Fuente: Hervas, D. (2010).
En esta gráfica se tienen 4 rectángulos cuyos
lados miden los números reales no negativos a y b.
La disposición de los 4 rectángulos hace que se
forme un cuadrado de lado a + b. Luego, el área de
este cuadrado es (a + b)
2
.
En la figura se aprecia que el área del cuadrado
es mayor que el área 4ab de los 4
rectángulos. Para que el área de los 4 rectángulos
sea igual al área del cuadrado hace falta sumarle el
área del cuadrado interior (a – b)
2
.
2.3. Representación Geométrica 2.
Fig. 2
Figura 11: Segunda representación geométrica de las medias
aritmética y geométrica.
Fuente: Hervas, D. (2010).
En esta otra representación se toma en cuenta
dos teoremas de la Geometría Plana.
a. Teorema. - Todo ángulo inscrito en un
semicírculo es recto.
En la gráfica, el ángulo inscrito en el
semicírculo es el ángulo ABC y por ende medirá
90°.
b. Teorema. - La altura h relativa a la hipotenusa
de un triángulo rectángulo es media proporcional
entre los segmentos a y b que determina en la
hipotenusa.
h =
(6)
En la figura se visualiza que la altura h es
menor o igual que el radio R del semicírculo.
También que R es igual a la mitad del diámetro a
+ b. Por tanto:
R
A
C
B
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2.4. Representación Geométrica 3
Figura 12: Tercera representación geométrica de las medias
aritmética y geométrica.
Fuente: Hervas, D. (2010)
En la gráfica se tienen dos círculos tangentes
de radios a y b. Al formarse el triángulo rectángulo
se observa que la hipotenusa es la suma a + b de
los dos radios y uno de los catetos la diferencia a –
b entre estos. Al calcularse el cateto faltante,
aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene como
resultado
. Del triángulo rectángulo, como
cualquier cateto es menor que la hipotenusa, por
ser este lado siempre mayor que cualquier otro, se
obtiene la expresión para la desigualdad.
2.5. Aplicación
2.5.1. A continuación, se presenta un problema
donde se puede apreciar como la representación
geométrica, a través de un gráfico, ayuda para la
demostración analítica de la proposición que se
plantea.
Enunciado.- Sean
números reales positivos tales que
,
donde k es una constante, Sáenz (2010). [5].
Demostrar que:
(7)
Representación Geométrica
Figura 13: Representación geométrica del problema.
Fuente: Hervas, D. (2010).
Como
, el gráfico geométrico que
encaja es el de un triángulo equilátero, cuyo lado
de valor k, es la suma de dos segmentos
.
Además, como también se tiene
, los segmentos que forman el lado del
triángulo equilátero, han sido ubicados de tal
forma que al calcularse el área de los triángulos
escalenos sombreados, puedan obtenerse los
productos
. Por tanto:
Área de la región sombreada:
Área del triángulo equilátero:
Como el área de la región sombreada S
1
es
menor que el área del triángulo equilátero S
2
,
resulta lo siguiente:
De donde se obtiene que:
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2.5.2. La representación gráfica geométrica visual
también permite, mediante simple observación,
deducir proposiciones, tal como González, P. (s/f)
habla es sus gráficos de “Prueba sin Palabras”. El
ejemplo que se muestra es una representación
gráfica geométrica visual para el número irracional
.
(8)
Figura 14: Representación geométrica de .
Fuente: Hervas, D. (2010).
Explicación. - Fijemos nuestra atención en el
vértice común a los tres triángulos rectángulos.
Este vértice pertenece al triángulo rectángulo que
es isósceles por tener dos catetos de igual valor.
Luego, el valor del ángulo agudo asociado a este
vértice para este triángulo, calculado por
Trigonometría, es
; es decir, 45°.
Si nuevamente tomamos en consideración el
mismo vértice, pero ahora fijándonos en el
triángulo rectángulo que tiene un cateto de valor
doble que el otro, se puede desprender que el valor
del ángulo agudo asociado a este vértice para este
triángulo, calculado por Trigonometría, es
; es decir, 63,435°.
Por último, observando el mismo vértice pero
el triángulo rectángulo que tiene un cateto que es el
triple del otro, resulta que el valor del ángulo
agudo asociado a este vértice para este triángulo,
calculado por Trigonometría, es
; es
decir, 71,565°
Como el vértice analizado es común a tres
ángulos consecutivos que forman un ángulo llano o
de lados colineales, la suma de las medidas de los
valores de estos tres ángulos es ; o lo que es lo
mismo, 180° = 45° + 63,435° + 71,565°
3. ANÁLISIS DE RESULTADOS
Las representaciones gráficas geométricas
visuales, no solo han mostrado la evidencia del
teorema tratado, sino también esa íntima relación
entre el Álgebra de los Números Reales y la
Geometría Plana, dos materias de una misma
ciencia. Esta relación da profundidad al
conocimiento y eleva la capacidad de
demostración.
En el Algebra de Números Reales hay
teoremas, cuya demostración se realiza no siempre
incluyendo un gráfico; y todavía, geométrico. Una
demostración así desarrollada no permite a los
estudiantes alcanzar una plena compresión de lo
que se está tratando y hace a la Matemática
demasiado abstracta e incomprensible. En los
estudiantes universitarios de los niveles básicos,
quienes no están familiarizados con el aprendizaje
deductivo inferencial, es donde más se acentúa este
problema y por ende ven a la Matemática poco
agradable y difícil de aprenderla, Benalcázar
(2007).
Ante la dificultad del aprendizaje de la
Matemática en forma deductiva inferencial, porque
no se enseña a buscar los pasos de la demostración
con el empleo de procedimientos heurísticos; es el
memorismo y mecanicismo los que se usan. Si la
Matemática es fruto del raciocinio lógico formal
del ser humano, memorismo y mecanicismo se
deben erradicar, tanto en la enseñanza como en el
aprendizaje de Matemáticas, porque desvirtúan el
alma y esencia de esta ciencia exacta.
A lo largo de una carrera docente de más de
veinte años en las universidades ecuatorianas,
hemos constatado que en los primeros años los
niveles de deserción y pérdida son muy altos. Una
de las asignaturas que más dificultad presenta es la
Matemática. La forma de enseñanza y aprendizaje
de la Matemática, a nivel superior, evidencia
diferencias marcadas de aquella que es impartida
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en el nivel medio. Los estudiantes deben estar
acostumbrados a que en una clase de Matemáticas
realizar demostraciones es tan corriente como
resolver problemas o desarrollar ejercicios.
4. CONCLUSIONES
Un estudiante desarrolla su pensamiento
cuando penetra en la esencia del fenómeno; no
cuando repite muchas veces un mismo proceso.
Relacionar formas para demostrar la validez de una
afirmación es una manera de convencer al
escéptico.
Las demostraciones tienen su importancia,
cuando responden a las dudas de los estudiantes,
probando aquello que no es obvio, que no pueden
“visualizar”.
Una representación gráfica geométrica visual
garantiza una adecuada secuencia en el
pensamiento a la hora de demostrar y da solidez a
las destrezas que en torno a ella se crean y
desarrollan.
Los años básicos de las universidades deben
constituir un puente para que el bachiller, novato
universitario, pase de la educación media a la
superior, sin mayor dificultad. Por tanto, es aquí
donde la forma de la enseñanza y aprendizaje de la
Matemática debe ser fortalecida para que el
estudiante mire a esta ciencia con un grado de
apego y respeto. Ante este hecho, a la forma
analítica formal de demostración de un teorema se
debe agregar una representación gráfica geométrica
visual. Es decir, incorporar las figuras geométricas
planas y sus propiedades en la demostración de los
teoremas del Algebra del Campo de los Números
Reales. De esta manera se espera que el estudiante
se motive y retire de su pensamiento el temor y las
dificultades que trae el aprender esta ciencia noble
pero dura en su dominio y comprensión.
Cuando hay muchas dificultades para realizar
una demostración analítica, realizar un gráfico
geométrico es una sugerencia a tomar en cuenta
para facilitar el proceso, sobre todo cuando se está
en las etapas iniciales para aprender a demostrar.
La importancia de enseñar Matemática en la
forma correcta ayuda a los estudiantes en su
capacidad de raciocinio, observación, análisis y
síntesis, en definitiva; desarrolla las formas de
pensamiento de quien la estudia o enseña.
Corregir la forma de enseñanza y aprendizaje
de la Matemática va a ayudar a muchos estudiantes
no solo a no reprobar los cursos, sino también a
cambiar las estructuras mentales y concepciones
equívocas que traen con respecto a esta ciencia.
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Revista Nexos Científicos ISSN: 2773-7489
Julio –Diciembre 2019 pp. 1-12 Correo: editor@istvidanueva.edu.ec
Volumen 3, Número 2 URL: http://nexoscientificos.vidanueva.edu.ec/index.php/ojs/index
Fecha de recepción: agosto 2019 Fecha de aceptación: septiembre 2019
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