Revista Nexos Científicos ISSN: 2773-7489
Enero – Junio 2019 pp. 1-11 Correo: editor@istvidanueva.edu.ec
Volumen 3, Número 1 URL: http://nexoscientificos.vidanueva.edu.ec/index.php/ojs/index
Fecha de recepción: febrero 2019 Fecha de aceptación: marzo 2019
1
1.
1
INTRODUCCIÓN
Antes de Galileo Galilei (1564-1642) y en
la misma época de él, la máxima autoridad
científica y filosófica fue Aristóteles (384-322 A.
C.). Hombre de inteligencia verdaderamente
privilegiada que abarcó todo el conocimiento de su
época, fundador de la Filosofía Peripatética,
esencia del escolasticismo de la Edad Media que lo
considera como uno de sus pilares fundamentales
(Alonso M. , Física, 2019a).
Aristóteles, antes que experimentar,
observaba. Basado en la observación, costumbre
muy generalizada entre los griegos
contemporáneos a él, hizo algunas afirmaciones
aparentemente obvias pero que con experiencias
1. Profesor de la 1 Pontificia Universidad Católica de Chile, Santiago
de Chile, murogrande@yahoo.com
2. Profesor de la 2 Universidad Tecnológica Israel – Departamento de
Ciencias Exactas, Quito – Ecuador, mmendizabal@uisrael.edu.com
sencillas se hubieran demostrado que estaban
erróneas. Entre estas se encuentran suponer que los
cuerpos en movimiento se detienen, no por la
fricción, sino porque se han cansado; y caían al
suelo, no por la gravedad, sino porque anhelaban
estar unidos a la Tierra (Mentes brillantes: los
secretos del cosmos, 2016).
También está suponer que un cuerpo más
pesado cae más velozmente que uno más ligero
(Alonso M. , Física, 2019a).
Estas proposiciones fueron aceptadas como
verdaderas, sin comprobación, durante 2 000 años
hasta Galileo. Sin embargo, se debe señalar que
algunos investigadores anteriores a Galileo, ya
dudaban de la veracidad de las leyes aristotélicas.
Galileo, al experimentar, interroga
directamente a la naturaleza, creando el método
experimental para la investigación en las ciencias
naturales. Con la experimentación, algo que poca
gente había hecho antes, Galileo verifica la ley y
comprueba que los cuerpos no se mueven por
La Máquina de Atwood en el Estudio Experimental de la Cinemática y
Dinámica Clásicas de la Caída de los Cuerpos
Mauro Javier Mendizábal Pico
1
; Mauro Javier Mendizábal Freire
2
1
Pontificia Universidad Católica de Chile, Santiago de Chile, murogrande@yahoo.com
2
Universidad Tecnológica Israel – Departamento de Ciencias Exactas, Quito – Ecuador, mmendizabal@uisrael.edu.com
Resumen: Este documento hace referencia a la máquina inventada por George Atwood en 1784
para estudio y demostración experimental de las leyes del movimiento rectilíneo uniformemente
variado. Con la máquina de Atwood, se demuestra que en este tipo de movimiento, existe una
proporcionalidad directa entre las distancias recorridas y los cuadrados de los tiempos; así como
también, entre las rapideces de las velocidades y los tiempos.
Palabras Claves: Galileo, caída de los cuerpos, plano inclinado, gravedad, máquina de Atwood.
The Atwood Machine in the Experimental Study of Classic Cinematics and
Dynamics of the Fall of Bodies
Abstract: This document refers to the machine invented by George Atwood in 1784 for the
study and experimental demonstration of uniformly varied laws of rectilinear motion. With the
Atwood machine, it is demonstrated that in this type of movement, there is a direct
proportionality between the distances traveled and the squares of the times; as well as, between
the speeds of the velocities and the times.
Keywords: Galileo, fall of the masses, inclined plane, gravity, Atwood’s machine.
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deseos, sino por leyes matemáticas que subyacen al
movimiento. Galileo introduce el concepto de
aceleración y es el primero en utilizar el lenguaje
de las Matemáticas para analizar fenómenos
físicos. Descubre estas leyes por experimentos y es
el Padre de la Física Moderna, según Albert
Einstein.
Los primeros experimentos Galileo los realiza
alrededor del año 1590, cuando era profesor de
Matemática de la Universidad de Pisa. Estos
experimentos se relacionan con la caída de los
cuerpos y consistían en dejar caer simultáneamente
y en diversas ocasiones, varios cuerpos de
diferentes masas y sustancias desde lo alto de la
torre inclinada de Pisa (60 m de altura). Galileo
con estas experiencias comprobó que todos los
cuerpos, independientemente de sus masas y
sustancias que los formaban, siempre tardaban el
mismo tiempo en llegar a la base de la torre,
demostrándose de esta manera que los cuerpos
llegaban con la misma rapidez (Alonso & Acosta,
Introducción a la Física, 2018).
En realidad, los cuerpos con más masa y por ende
más pesados, si caen algo más rápido, lo que se
explica si se tiene en cuenta la resistencia del aire,
aunque la diferencia sea imperceptible para una
altura como la de la torre de Pisa. Experimentos
hechos por el Departamento de Guerra de los
Estados Unidos durante los años 1917 y 1918
indicaron que los cuerpos compactos deben caer
unos 200 m para que el efecto de la resistencia del
aire sea observable. Las gotas de lluvia, si se
observan detenidamente, caen con movimiento
uniforme debido al efecto de la atmósfera (Alonso
M. , Física, 2019a).
En general, la resistencia del aire al movimiento de
los cuerpos hace que en la atmósfera los cuerpos
no caigan ni con la misma velocidad ni con
movimiento uniformemente variado. Los cuerpos
más pesados caerán más rápidamente que los más
ligeros (Alonso & Finn, Física, 2017).
El aire es una sustancia que se opone al
movimiento de la caída de los cuerpos. Esta
oposición o resistencia depende de la forma
geométrica en que está constituido el cuerpo. La
forma como la geometría del cuerpo afecta en la
caída se puede observar cuando se dejan caer
simultáneamente y a nivel de la superficie de la
Tierra, una hoja de papel sin arrugar y otra
arrugada. Es decir, para este experimento, aunque
las hojas sean las mismas, se ha cambiado de
forma a una de ellas. La hoja arrugada será la
primera en llegar al piso, antes que la no arrugada,
porque el efecto del aire es mayor en la hoja no
arrugada que en la arrugada.
Si la caída de las hojas de papel se hace en el
vacío, donde el efecto del aire no interviene en el
movimiento, tanto la hoja arrugada como la no
arrugada llegarán al piso al mismo tiempo.
Demostrándose entonces que en el vacío todos los
cuerpos emplean el mismo tiempo en caer una
misma altura si parten en las mismas condiciones
(Alonso M. , Física, 2019a).
Figura 1: Tubos de Newton.
Fuente: Alonso, Física Curso Elemental, 2019.
La ley anterior es posible demostrarla
experimentalmente en un laboratorio de Física,
usando un tubo de Newton (Figura 1). En el
interior del tubo se pueden colocar una moneda y
una pluma. Si el tubo se invierte sin extraer el aire,
la moneda caerá más pronto que la pluma por ser la
pluma más ligera que la moneda y su rapidez de
caída menor. Pero si previamente se hace el vacío
más perfecto posible en el tubo, ambos cuerpos
caerán juntos. Esta ley también fue demostrada en
un planeta distinto a la Tierra, en la Luna, donde
no hay atmósfera y por ende no hay aire. Sólo que
aquí, durante la misión del módulo lunar Falcón
del Apolo XV, en el año 1971, el comandante de la
misión, el astronauta David R. Scott (1932), usó un
martillo y una pluma como cuerpos para la caída
libre (Apuntes de la NASA, 2016), demostrándose
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que en ausencia de aire, la gravedad actúa por igual
en todos los cuerpos independientemente de la
masa.
Figura 2: Experimento de la pluma y el martillo en
la Luna que dio la razón a Galileo.
Fuente:
https://www.youtube.com/watch?v=JLs0XyFwehE
Galileo, en la segunda parte de su vida, fue
profesor de la universidad de Padua y más tarde, en
su retiro en Florencia, llegó a analizar la naturaleza
de la caída del movimiento de los cuerpos. Sus
resultados los reunió en su obra cumbre llamada
“Diálogos de Dos Ciencias Nuevas”, publicada en
el año 1638. En este libro Galileo introdujo el
concepto de movimiento uniformemente variado y
probó que esta es la naturaleza del movimiento de
caída de los cuerpos demostrando que las
distancias recorridas son directamente
proporcionales a los cuadrados de los tiempos
(Alonso M. , Física, 2019a).
Para demostrar esta proporcionalidad,
Galileo substituyó la caída directa del cuerpo por la
caída a lo largo de un plano inclinado (Figura 3),
en el cual el movimiento del cuerpo es más lento y
más fácil de observar cuanto menor es la
inclinación del plano, considerando que la
naturaleza del movimiento no se ha alterado por la
substitución.
Figura 3: Plano inclinado de Galileo.
Galileo marcó sobre el plano inclinado los puntos
a, b, c, d,… Los puntos b, c, d, … estaban situados
a distancias del punto a proporcionales a los
números 1, 4, 9, … y midió los tiempos que
empleaba un cuerpo en rodar desde a hasta b,
desde a hasta c, desde a hasta d, … comprobando
que eran directamente proporcionales a los
números 1, 2, 3, …, respectivamente. Quedando de
esta forma demostrada la proporcionalidad directa
entre las distancias recorridas y los cuadrados de
los tiempos (Alonso M. , Física, 2019a).
Como dato curioso cabe señalar que en la época de
Galileo no se disponía de relojes y peor aún
cronómetros para la medida exacta de los pequeños
intervalos de tiempo. Galileo recurrió a un
recipiente con agua, en el fondo del cual abrió un
pequeño orificio que podía taparse con un dedo.
Tan pronto como el cuerpo comenzaba a rodar se
retiraba el dedo hasta que el cuerpo llegara a
cualquiera de las marcas dispuestas sobre el plano.
El agua que había salido se recogía en una vasija y
se pesaba admitiéndose que la cantidad de líquido
recogido era proporcional al tiempo transcurrido
(Alonso M. , Física, 2019a).
Dados los múltiples experimentos de caída libre de
los cuerpos, se puede también afirmar que en el
vacío todos los cuerpos caen con movimiento
uniformemente acelerado, siendo la aceleración la
misma para todos los cuerpos en el mismo lugar de
la Tierra, independientemente de su forma
geométrica o de la substancia que los compone
(Alonso M. , Física, 2019a).
Para el estudio de la caída de los cuerpos en
un plano inclinado, se puede usar el principio de
composición y descomposición de las
aceleraciones. Así, consideremos un cuerpo de
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masa m sobre el plano inclinado AB que forma un
ángulo con la horizontal (Figura 4). Si no
existiera el plano, el cuerpo de masa m caería con
la aceleración de la gravedad dirigida
verticalmente y hacia abajo. Las componentes de la
aceleración de la gravedad , según las direcciones
normales YY’ y paralela al plano XX’ son:
y
(1.1)
Figura 4: Caída por un plano inclinado.
La componente normal de la gravedad
representa un movimiento de la masa m
perpendicular al plano. Este movimiento de la
masa no es posible por la presencia del plano. La
componente paralela de la gravedad
representa,
en cambio, un movimiento de la masa paralelo al
plano, y es el único que llega a producirse. Por
tanto, el movimiento de caída de la masa m es
uniformemente acelerado con una aceleración de
valor el cual es menor a medida que el
ángulo de inclinación del plano sea menor. Si la
longitud del plano se llama d y t el tiempo
empleado por la masa m en recorrer la distancia d,
se puede obtener la ecuación para el tiempo t:
(1.2)
La ecuación (I.2) indica que el tiempo de
caída aumenta al disminuir el ángulo de inclinación
del plano inclinado AB, hecho confirmado por la
experiencia cotidiana. De esta forma se comprueba
que cuanto menos inclinado es el plano más lenta
es la caída del cuerpo, propiedad que Galileo
Galilei usó para analizar el movimiento de caída de
los cuerpos como ya se dijo antes.
La rapidez V con que la masa m llega al
extremo inferior B del plano inclinado AB es:
(1.3)
Como el triángulo ABC es rectángulo se
tiene lo siguiente:
(1.4)
De donde:
(1.5)
Esta rapidez es la misma que la masa m
tendría en C si hubiera caído libremente desde A
en dirección vertical hacia abajo. Por tanto, si en el
punto A del plano inclinado AB, se sueltan
simultáneamente dos cuerpos, uno para rodar sobre
el plano y otro para caer verticalmente, ambos
llegarán con la misma rapidez a B y a C,
respectivamente; aunque el cuerpo que rueda
llegará a B un poco más tarde.
Este resultado es un caso particular de un
principio general que dice si un cuerpo se mueve,
bajo la acción de la gravedad, desde un punto A
hasta otro punto B, partiendo con una rapidez
determinada desde A, llegará a B con la misma
rapidez cualquiera sea la trayectoria seguida
(Young & Freedman, 2009). [9]. No interesa la
trayectoria seguida por el cuerpo porque el
movimiento se da bajo la acción de una fuerza
conservativa como es la gravitacional. Este
principio es a su vez un caso particular de otro más
general como es la ley de la conservación de la
energía.
La trayectoria seguida por el cuerpo, a
diferencia de lo que pasa con la rapidez, si
interviene en el valor del tiempo que el cuerpo
emplea en moverse. La trayectoria para la cual
corresponde el descenso más rápido se llama
braquistócrona (Griego: braquis: corto, cronos:
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tiempo). Esta curva es una cicloide cuya forma es
muy semejante a la curva de la Figura 5.
Figura 5: Comparación entre una trayectoria
braquistócrona y un plano inclinado.
Fuente:
https://es.wikipedia.org/wiki/Curva_braquist%C3%B3crona
La braquistócrona como la trayectoria con menor
tiempo de descenso fue propuesta como problema
por Juan Bernoulli en 1696, quien ya la había
determinado previamente. Newton y Leibniz la
encontraron tan pronto se enteraron del problema
(Alonso M. , Física Curso Elemental, 2019b).
Para facilitar el estudio de la caída de los cuerpos,
el físico, matemático y astrónomo inglés George
Atwood (1746-1807), profesor de la Universidad
de Cambridge y miembro de la Royal Society, dio
a conocer en 1784 un sistema dinámico muy
interesante, denominado desde ese entonces
máquina de Atwood. Esta máquina fue construida
por George Adams, un fabricante de instrumentos
de Londres, según las especificaciones de Atwood
y la primera descripción apareció en francés en
1780. La máquina de Atwood fue solicitada por el
italiano Alessandro Volta y también se enviaron
copias a España (O'Connor & Robertson, 2005).
La máquina de Atwood desempeña el mismo papel
que el plano inclinado de Galileo; es decir, hace
que el movimiento sea lento para facilitar la
observación sin modificar la naturaleza del mismo.
El fundamento de la máquina de Atwood radica en
que las aceleraciones que una fuerza constante
comunica a varias masas, son inversamente
proporcionales a las mismas masas (Bújovtsev,
Krívchenkov, Miákishev, & M.).
En el plano de Galileo la atenuación del
movimiento se conseguía disminuyendo la
componente efectiva de la aceleración de la
gravedad; en la máquina de Atwood en cambio, la
atenuación se consigue aumentando la inercia; es
decir, la masa del sistema.
La máquina de Atwood está esencialmente
compuesta por una polea simple fija. Esta es un
disco, de muy pequeña masa, que puede girar
alrededor de un eje O fijo, horizontal, con fricción
despreciable (Figura 6). La polea tiene una
garganta por donde pasa un hilo o cuerda
prácticamente inextensible y de masa despreciable.
A los extremos de este hilo se colocan dos masas
iguales M, una de las cuales puede moverse frente
a una regla vertical R usualmente graduada en cm.
Sobre la masa M que se puede mover frente a la
regla, se superpone otra masa pequeña m. Esta
masa pequeña m es la encargada de proporcionar la
fuerza resultante para hacer que la masa M suba
mientras la masa (M + m) baja. Para calcular la
aceleración del movimiento en el sistema así
formado procedemos de la siguiente manera:
(1.6)
(1.7)
Designando por la aceleración del sistema
y aplicando la segunda ley de Newton para la
Dinámica tenemos:
(1.8)
De la ecuación (I.8) se desprende que
cuando menor es la masa adicional pequeña m,
menor es la aceleración del sistema; y por tanto,
mayor la lentitud del movimiento.
Para asegurarse que el movimiento del
sistema sea uniformemente acelerado se emplean el
plato A y el aro B. El diámetro del aro B es tal que
Braquistócro
na
Plano
inclinado
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permite pasar la masa M pero no la m. El tiempo
que el sistema se mueve con movimiento
uniformemente variado se mide desde el instante
en que las masas (M + m) se sueltan, desde una
posición arriba del aro B, hasta que pasan por B.
Después de atravesar el aro B, donde se
retiene la masa m, el movimiento de las masas M
es uniforme y con una velocidad cuya rapidez es la
adquirida al pasar por B, de acuerdo al principio de
inercia ya que la fuerza resultante se ha anulado.
Esta rapidez se mide dividiendo la distancia BA
para el tiempo empleado en recorrerla.
Si el aro B se sitúa en distintas posiciones
se comprueba que las distancias son proporcionales
a los cuadrados de los tiempos, mientras las
rapideces de las velocidades en B son
proporcionales a los tiempos que son las
características del movimiento uniformemente
variado.
Figura 6: Máquina de Atwood.
Fuente: Alonso, Física Curso Elemental, 2019.
2. DESARROLLO
Para demostrar las leyes y obtener las
funciones dependientes del tiempo t o ecuaciones
horarias del movimiento rectilíneo de aceleración
constante o movimiento rectilíneo uniformemente
variado, se usará la máquina de Atwood construida
en el laboratorio de Física de la universidad Israel
en Quito-Ecuador en el año 2019 (Figura 7). Esta
máquina tiene como polea simple fija en el borde
un disco de polietileno de masa y coeficiente de
fricción despreciables. La regla está graduada en
dm. El hilo, inextensible y de masa despreciable,
que atraviesa la garganta de la polea, es de nylon.
La máquina está montada sobre un soporte
metálico en forma de T. Este soporte está sobre un
trípode que contiene un bloque de hormigón. Este
bloque sirve para que la máquina permanezca en
completo equilibrio mientras la experiencia se
realiza. Para nivelar la máquina, en los extremos
inferiores del trípode existen unos tornillos
calantes o niveladores.
Figura 7: Máquina de Atwood construida en el
laboratorio de Física de la Universidad Israel. Quito-
Ecuador. Año 2019.
Las masas, que se colocan en los extremos
del hilo de nylon que atraviesa la garganta de la
polea, están compuestas por dos porta-masas, de 25
g cada uno; y dos masas, de 96 g cada una. La
sobre carga es de 14 g. El cronómetro digital,
usado para la medida de los pequeños intervalos de
tiempo, es de 0,01 s de apreciación.
2.1. Procedimiento
2.1.1. Primera Parte
Verificadas las apreciaciones de la regla
(10,0 cm) y del cronómetro digital (0,01 s), una
vez encerado el cronómetro, se procedió a la
medida de los tiempos. Previamente se equilibró la
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máquina de Atwood usando un nivel de mercurio y
con la ayuda de los tornillos calantes. Se tuvo
cuidado que las masas que atraviesan el aro lo
hagan sin dificultad.
En cada uno de los dos porta-masas se
colocaron las masas de 96 g. Adicionalmente, en el
porta-masas que se mueve frente a la regla se
colocó la sobre carga de 14 g. Esta forma de
ubicación de las masas hace que a un extremo del
hilo de nylon la masa sea de (25 + 96) g = 121 g,
mientras que al otro, sea de (25 + 96 + 14) g = 135
g.
Fijada una referencia en la regla y a una
altura h desde el aro de 10 cm hacia arriba de este,
se dejó caer el sistema, teniendo la precaución que
el hilo esté tenso a ambos lados de la polea para
que la aceleración con que se mueven las masas
sea la misma. Se tomaron tres lecturas del tiempo
que les tomó a las masas de (25 + 96 + 14) g
recorrer la altura h de 10 cm. De estas lecturas se
obtuvo posteriormente la media aritmética de las
medidas del tiempo t.
La parte del procedimiento del párrafo
anterior se repitió para alturas h desde el aro y
hacia arriba de este de 40 cm y 90 cm. Las alturas
h de 10 cm, 40 cm y 90 cm fueron escogidas por
ser proporcionales a los números 1, 4 y 9 tal como
Galileo lo hizo cuando usó el plano inclinado
(Figura 3). Con estas distancias se espera
comprobar que los tiempos t sean proporcionales a
los números 1, 2 y 3 cuando ya se obtengan los
datos y se haga el análisis de los mismos. De esta
forma se comprobaría la proporcionalidad de las
distancias o alturas h recorridas y los cuadrados de
los tiempos t para el movimiento rectilíneo
uniformemente variado.
Con los datos obtenidos de la medida de los
tiempos para las alturas indicadas se obtuvo la
siguiente tabla de datos:
Tabla 1. Tiempos para m. r. u. v.
h
cm
s
s
s
s
0
0,00
0,00
0,00
0,00
10
0,54
0,55
0,56
0,55
40
1,00
1,10
1,20
1,10
90
1,63
1,64
1,65
1,64
2.1.2. Segunda Parte
Tomando como referencia la posición del
aro en la regla y hacia abajo de este, se fijó una
distancia d, entre el aro y el plato, de 20 cm en la
regla. Se llevó nuevamente el sistema a la posición
en la regla desde la cual fue suelto el sistema para
recorrer la altura h sobre el aro de 10 cm. Cuando
las masas de (25 + 96 + 14) g, llegaron al aro,
donde la masa de 14 g fue detenida, se procedió a
medir el tiempo t que les toma a las masas de (25 +
96) g recorrer la distancia d de 20 cm. Se tomaron
tres lecturas de tiempo para luego obtener su
promedio t.
Cuando la masa de 14 g es detenida en el
aro, el movimiento de las masas entre el aro y el
plato se vuelve rectilíneo uniforme m. r. u. porque
la causa que originó el movimiento rectilíneo
uniformemente variado m. r. u. v. hacia arriba del
aro, ha desaparecido. Es decir, las masas están en
equilibrio dinámico.
El procedimiento para la altura h de 10 cm
sobre el aro y distancia d de 20 cm entre el aro y el
plato, se repitió para la altura h de 40 cm sobre el
aro y distancia d de 40 cm entre el aro y el plato. Y
finalmente, para la altura h de 90 cm sobre el aro y
distancia d de 60 cm entre el aro y el plato. De esta
forma se espera comprobar la proporcionalidad
entre las rapideces de las velocidades V y los
tiempos de caída t.
Con los datos obtenidos de la medida de los
tiempos para las distancias indicadas se obtuvo la
siguiente tabla de datos:
Tabla 2. Tiempos para m. r. u.
cm
s
s
s
s
cm/s
0
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
20
0,54
0,55
0,56
0,55
36,36
40
0,54
0,55
0,56
0,55
72,73
60
0,54
0,55
0,56
0,55
109,09
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Los cocientes de la última columna de esta
tabla, que se obtienen entre los datos de la columna
de las distancias d y la columna de los tiempos t,
representan la rapideces con las que las masas de
(25 + 96 + 14) g llegan al aro; es decir, representan
las rapideces de las velocidades finales del
movimiento rectilíneo uniformemente variado m. r.
u. v.
3. ANÁLISIS DE DATOS
Los datos de las tablas 1 y 2 se llevaron a
un papel de escala logarítmica en base 10 para
deducir las funciones de altura h y rapidez V
dependientes del tiempo t. Para los datos de la
tabla 1, como escalas se determinaron, para el eje
vertical, donde van las medidas de la altura h, 1
ciclo equivalente a 10 cm; y para el eje horizontal,
donde van las medidas del tiempo t, 1 ciclo
equivalente a 1 s.
Ubicados los datos de la Tabla 1 en la
escala logarítmica y unidos los puntos resultantes
mediante una gráfica, se observa que se tiene una
línea recta de variable dependiente , variable
independiente , pendiente positiva m y
ordenada al origen . La ecuación para esta
recta es la siguiente:
(3.1)
Para calcular la pendiente m se traza el
triángulo rectángulo PQS, tal como se indica en la
Figura 8. Con la ayuda de una regla y usando la
escala en mm se miden las distancias de los
segmentos PS y QS. Estas medidas corresponden a
las variaciones logarítmicas del tiempo
y de la altura ;
respectivamente. Considerando que la pendiente es
la tangente del ángulo de inclinación de la línea
recta se obtiene el cociente 2, valor para la
pendiente m de la recta.
(3.2)
Figura 8: Gráfica logarítmica log(h) vs log(t) de los datos de
la altura h y los tiempos t.
Para el cálculo del valor de la ordenada al
origen de la recta , se toman los datos de
cualquiera de los puntos P, Q o R de la recta. En
este caso se tomarán los datos del punto Q. Estos
datos junto con el valor de la pendiente m se
reemplazan en la ecuación III.1 y se obtiene el
valor de la constante C, tras aplicar teoremas de los
logaritmos.
(3.3)
Si se realiza el análisis dimensional de la
constante C, se observa que las dimensiones de
esta constante son
, las mismas que indican
que se trata de una celeridad.
Reemplazando el valor de la constante C
más el valor de la pendiente m en la ecuación III.1,
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la función o ecuación horaria para la altura h,
estaría dada por:
(3.4)
Para los datos de la tabla 2, como escalas se
determinaron, para el eje vertical, donde van los
valores de la rapidez V, 1 ciclo equivalente a 100
cm/s; y para el eje horizontal, donde van las
medidas de los tiempos t, 1 ciclo equivalente a 1 s.
Figura 9: Gráfica logarítmica log (V) vs log(t) de los datos de
la rapidez V y los tiempos t.
Ubicados los datos de la tabla 2 en la escala
logarítmica y unida los puntos resultantes mediante
una gráfica, se observa que se tiene una línea recta
de variable dependiente , variable
independiente , pendiente positiva m y
ordenada al origen . La ecuación para esta
recta es la siguiente:
(3.5)
Para calcular la pendiente m se traza el
triángulo rectángulo PQS, tal como se indica en la
Figura 9. Con la ayuda de una regla y usando la
escala en mm se miden las distancias de los
segmentos PS y QS. Estas medidas corresponden a
las variaciones logarítmicas del tiempo
y de la rapidez ;
respectivamente. Considerando que la pendiente es
la tangente del ángulo de inclinación de la línea
recta se obtiene el cociente 1, valor para la
pendiente m de la recta.
(3.6)
Para el cálculo del valor de la ordenada al
origen de la recta , se toman los datos de
cualquiera de los puntos P, Q o R de la recta. En
este caso se tomarán los datos del punto Q. Estos
datos junto con el valor de la pendiente m se
reemplazan en la ecuación III.5 y se obtiene el
valor de la constante C, tras aplicar teoremas de los
logaritmos.
(3.7)
Si se realiza el análisis dimensional de la
constante C, se observa que las dimensiones de
esta constante son
, las mismas que indican
que se trata de una celeridad.
Reemplazando el valor de la constante C
más el valor de la pendiente m en la ecuación III.5,
Revista Nexos Científicos ISSN: 2773-7489
Enero – Junio 2019 pp. 1-11 Correo: editor@istvidanueva.edu.ec
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Fecha de recepción: febrero 2019 Fecha de aceptación: marzo 2019
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la función o ecuación horaria para la rapidez V,
estaría dada por:
(3.8)
4. CONCLUSIONES
A partir de la obtención de los datos
experimentales de las Tablas 1 y 2, suponiendo
condiciones ideales para la cuerda (hilo de nylon) y
polea (disco de polietileno); es decir, la cuerda
carece de masa y es inextensible, la polea carece de
momento de inercia (masa despreciable) y de
rozamiento, el modelo de la máquina de Atwood
construida en el laboratorio de Física de la
universidad Israel puede ser mejorado y obtenerse
datos con mayor precisión.
Si la masa m de la sobrecarga es pequeña
con respecto a la masa M, la aceleración es
también pequeña y se pueden medir tiempos y
posiciones en una de las dos masas con relativa
facilidad y de estos valores deducir el valor de la
gravedad g.
Como se está trabajando con cuerda y polea
ideales, las tensiones a los dos lados de la cuerda, a
pesar de tener signos contrarios, tienen el mismo
valor.
Si se considerara la masa de la polea habría
que tomar en cuenta la inercia de la polea y la
fricción que esta tiene con la cuerda. Las tensiones
en ambas puntas de la cuerda ya no tendrían el
mismo valor porque existe un torque sobre la polea
que hace que esta rote.
La ecuación obtenida para la distancia
recorrida o altura
indica la
proporcionalidad directa entre la variable h y el
cuadrado de la variable t o tiempo. Esta ley era una
que había que demostrarse en forma experimental
y que Galileo realizó usando el plano inclinado. La
otra ley, donde la rapidez V está en
proporcionalidad directa con el tiempo t, también
se demostró en forma experimental a través de la
ecuación
.
Si se consideran las ecuaciones típicas de la
Física Clásica para el movimiento rectilíneo
uniformemente variado, partiendo del reposo,
como son
y , se puede
comprobar la relación que existe entre los
coeficientes de
y t de las ecuaciones para h y
V, respectivamente. Es decir, el coeficiente de
es
la mitad del coeficiente de t:
.
La máquina de Atwood aparece como un
instrumento pedagógico alternativo al plano
inclinado de Galileo por su fácil uso en las clases
de Física que lo hacen muy versátil y didáctico.
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Centroamericana, S. A.
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Guatemala: Cultural Centroamericana.
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